IzpÄtiet progresÄ«vas elipsiskÄs lÄ«knes kriptogrÄfijas (ECC) operÄcijas, piemÄram, ECDH, publiskÄs atslÄgas atjaunoÅ”anu un Å norra parakstus, izmantojot JavaScript iebÅ«vÄto BigInt, lai uzlabotu droŔību un veiktspÄju.
JavaScript BigInt ElipsiskÄs lÄ«knes kriptogrÄfija: PadziļinÄta analÄ«ze par progresÄ«vÄm operÄcijÄm
ÄrÄ, ko dominÄ digitÄlÄ mijiedarbÄ«ba, sÄkot no decentralizÄtas finanses (DeFi) lÄ«dz beigu gala Å”ifrÄtai ziÅojumapmaiÅai, mÅ«su kriptogrÄfisko pamatu stiprums nekad nav bijis svarÄ«gÄks. ElipsiskÄs lÄ«knes kriptogrÄfija (ECC) ir mÅ«sdienu publiskÄs atslÄgas kriptogrÄfijas pamatÄ, piedÄvÄjot spÄcÄ«gu droŔību ar mazÄkiem atslÄgu izmÄriem salÄ«dzinÄjumÄ ar tÄs priekÅ”gÄjÄjiem, piemÄram, RSA. Gadiem ilgi Å”o sarežģīto matemÄtisko operÄciju veikÅ”ana tieÅ”i JavaScript bija izaicinÄjums, bieži vien pieprasot specializÄtas bibliotÄkas, kas abstrahÄja zema lÄ«meÅa detaļas vai nodarbojÄs ar JavaScript standarta skaitļu tipa ierobežojumiem.
IebÅ«vÄtÄ BigInt tipa ievieÅ”ana JavaScript (ES2020) bija revolucionÄrs brÄ«dis. TÄ atbrÄ«voja izstrÄdÄtÄjus no 64 bitu peldoÅ”Ä punkta Number tipa ierobežojumiem, nodroÅ”inot mehÄnismu patvaļīgi lielu veselu skaitļu apstrÄdei. Å Ä« viena funkcija atbrÄ«voja potenciÄlu veiktspÄjÄ«gÄm, vietÄjÄm un caurspÄ«dÄ«gÄkÄm kriptogrÄfiskÄm implementÄcijÄm tieÅ”i JavaScript vidÄs, piemÄram, pÄrlÅ«kprogrammÄs un Node.js.
Lai gan daudzi izstrÄdÄtÄji ir pazÄ«stami ar ECC pamatiem ā atslÄgu pÄru Ä£enerÄÅ”anu un ziÅojumu parakstÄ«Å”anu ā Ŕīs tehnoloÄ£ijas patiesÄ vÄrtÄ«ba slÄpjas tÄs progresÄ«vÄkajÄs operÄcijÄs. Å is raksts pÄrsniedz pamatus, lai izpÄtÄ«tu sarežģītus kriptogrÄfiskos protokolus un metodes, kas tagad ir pieejamas, pateicoties BigInt. MÄs iedziļinÄsimies ElipsiskÄs lÄ«knes Difija-Helmana (ECDH) droÅ”ai atslÄgu apmaiÅai, publiskÄs atslÄgas atjaunoÅ”anÄ no parakstiem un jaudÄ«gajos, agregÄcijas draudzÄ«gajos Å norra parakstos.
BigInt revolÅ«cija JavaScript kriptogrÄfijÄ
Pirms iedziļinÄties progresÄ«vajÄs operÄcijÄs, ir svarÄ«gi saprast, kÄpÄc BigInt ir tik liels mainÄ«tÄjs JavaScript kriptogrÄfijÄ.
ProblÄma ar `Number` tipu
JavaScript tradicionÄlais Number tips ir IEEE 754 dubultÄs precizitÄtes 64 bitu peldoÅ”Ä punkta skaitlis. Å is formÄts ir lieliski piemÄrots plaÅ”am lietojumu klÄstam, taÄu tam ir kritisks kriptogrÄfijas ierobežojums: tas var droÅ”i attÄlot veselus skaitļus tikai lÄ«dz Number.MAX_SAFE_INTEGER, kas ir 253 - 1.
ECC kriptogrÄfiskÄs atslÄgas un starpvÄrtÄ«bas ir krietni lielÄkas. PiemÄram, populÄrÄ secp256k1 lÄ«kne, ko izmanto Bitcoin un Ethereum, darbojas uz laukuma ar primÄrajiem skaitļiem, kas ir 256 bitu gari. Å ie skaitļi ir daudzkÄrt lielÄki nekÄ tas, ko standarta Number tips var apstrÄdÄt, zaudÄjot precizitÄti. MÄÄ£inÄjums veikt aprÄÄ·inus ar Å”Ädiem skaitļiem radÄ«tu nepareizus un nedroÅ”us rezultÄtus.
IenÄc `BigInt`: patvaļīgas precizitÄtes veseli skaitļi
BigInt eleganti atrisina Å”o problÄmu. Tas ir atŔķirÄ«gs skaitļu tips, kas nodroÅ”ina veidu, kÄ attÄlot jebkura izmÄra veselus skaitļus. JÅ«s varat izveidot BigInt, pievienojot `n` vesela skaitļa literÄļa beigÄm vai izsaucot BigInt() konstruktoru.
PiemÄrs:
const aLargeNumber = 9007199254740991n; // DroŔi ar BigInt
const anEvenLargerNumber = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007908834671663n; // 256 bitu primÄrais skaitlis
Ar BigInt visi standarta aritmÄtiskie operatori (+, -, *, /, %, **) darbojas kÄ paredzÄts ar Å”iem milzÄ«gajiem veseliem skaitļiem. Å Ä« spÄja ir pamats, uz kura tiek veidotas vietÄjÄs JavaScript ECC implementÄcijas, ļaujot tieÅ”i, precÄ«zi un droÅ”i aprÄÄ·inÄt kriptogrÄfiskos algoritmus, nepaļaujoties uz ÄrÄjiem WebAssembly moduļiem vai apgrÅ«tinoÅ”Äm vairÄkdaļu skaitļu bibliotÄkÄm.
ElipsiskÄs lÄ«knes kriptogrÄfijas pamatu atsvaidzinÄÅ”ana
Lai novÄrtÄtu progresÄ«vÄs operÄcijas, Ä«si atkÄrtosim ECC pamatkoncepcijas.
PÄc bÅ«tÄ«bas ECC ir balstÄ«ta uz elipsisko lÄ«kÅu algebrisko struktÅ«ru virs galÄ«giem laukiem. Å Ä«s lÄ«knes ir definÄtas ar Weierstrass vienÄdojumu:
y2 = x3 + ax + b (mod p)
Kur `a` un `b` ir konstantes, kas definÄ lÄ«knes formu, un `p` ir liels primÄrais skaitlis, kas definÄ galÄ«go lauku.
Galvenie jÄdzieni
- Punkts uz lÄ«knes: KoordinÄtu pÄris (x, y), kas apmierina lÄ«knes vienÄdojumu. Visas mÅ«su kriptogrÄfiskÄs operÄcijas bÅ«tÄ«bÄ ir "punkta aritmÄtika".
- BÄzes punkts (G): Publiski zinÄms, standartizÄts sÄkumpunkts uz lÄ«knes.
- PrivÄtÄ atslÄga (d): Ä»oti liels, kriptogrÄfiski droÅ”s nejauÅ”s vesels skaitlis. TÄ ir jÅ«su noslÄpums.
BigIntkontekstÄ `d` ir liels `BigInt`. - PubliskÄ atslÄga (Q): Punkts uz lÄ«knes, kas iegÅ«ts no privÄtÄs atslÄgas un bÄzes punkta, izmantojot operÄciju, ko sauc par skalÄru multiplikÄciju: Q = d * G. Tas nozÄ«mÄ G punkta pievienoÅ”anu sev `d` reizes.
ECC droŔība ir atkarÄ«ga no ElipsiskÄs lÄ«knes diskrÄtÄ logaritma problÄmas (ECDLP). Ir aprÄÄ·inÄÅ”anas ziÅÄ viegli aprÄÄ·inÄt publisko atslÄgu `Q`, ja ir zinÄma privÄtÄ atslÄga `d` un bÄzes punkts `G`. TomÄr ir aprÄÄ·inÄÅ”anas ziÅÄ neiespÄjami noteikt privÄto atslÄgu `d`, ja ir zinÄma tikai publiskÄ atslÄga `Q` un bÄzes punkts `G`.
ProgresÄ«vÄ operÄcija 1: ElipsiskÄs lÄ«knes Difija-Helmana (ECDH) atslÄgu apmaiÅa
Viena no visspÄcÄ«gÄkajÄm ECC lietojumprogrammÄm ir kopÄjas noslÄpumu izveidoÅ”ana starp divÄm pusÄm, izmantojot nedroÅ”u sakaru kanÄlu. Tas tiek panÄkts, izmantojot ElipsiskÄs lÄ«knes Difija-Helmana (ECDH) atslÄgu apmaiÅas protokolu.
MÄrÄ·is
IedomÄjieties divus cilvÄkus, Alisi un Bobu, kuri vÄlas droÅ”i sazinÄties. ViÅiem ir jÄvienojas par simetrisku Å”ifrÄÅ”anas atslÄgu, ko zina tikai viÅi, taÄu vienÄ«gÄ saziÅas iespÄja ir publiskais kanÄls, ko var uzraudzÄ«t kÄds noklausÄ«tÄjs, Ievu. ECDH ļauj viÅiem aprÄÄ·inÄt identisku kopÄju noslÄpumu, nekad to tieÅ”i nepÄrraidot.
Protokols soli pa solim
- AtslÄgu Ä£enerÄÅ”ana:
- Alise Ä£enerÄ savu privÄto atslÄgu, `d_A` (liels nejauÅ”s
BigInt), un savu atbilstoÅ”o publisko atslÄgu, `Q_A = d_A * G`. - Bob Ä£enerÄ savu privÄto atslÄgu, `d_B` (cits liels nejauÅ”s
BigInt), un savu publisko atslÄgu, `Q_B = d_B * G`.
- Alise Ä£enerÄ savu privÄto atslÄgu, `d_A` (liels nejauÅ”s
- Publisko atslÄgu apmaiÅa:
- Alise nosÅ«ta savu publisko atslÄgu, `Q_A`, Bobam.
- Bob nosÅ«ta savu publisko atslÄgu, `Q_B`, Alisei.
- Ieva, noklausÄ«tÄjs, var redzÄt gan `Q_A`, gan `Q_B`, bet nevar atvasinÄt privÄtÄs atslÄgas `d_A` vai `d_B` ECDLP dÄļ.
- KopÄjÄ noslÄpuma aprÄÄ·inÄÅ”ana:
- Alise Åem Boba publisko atslÄgu `Q_B` un reizina to ar savu privÄto atslÄgu `d_A`, lai iegÅ«tu punktu S: S = d_A * Q_B.
- Bob Åem Alises publisko atslÄgu `Q_A` un reizina to ar savu privÄto atslÄgu `d_B`, lai iegÅ«tu punktu S: S = d_B * Q_A.
KomutativitÄtes maÄ£ija
Gan Alise, gan Bobs nonÄk pie tieÅ”i viena un tÄ paÅ”a kopÄjÄ noslÄpuma punkta S uz lÄ«knes. Tas ir tÄpÄc, ka skalÄrÄ multiplikÄcija ir asociatÄ«va un komutatÄ«va:
Alises aprÄÄ·ins: S = d_A * Q_B = d_A * (d_B * G)
Boba aprÄÄ·ins: S = d_B * Q_A = d_B * (d_A * G)
TÄ kÄ d_A * d_B * G = d_B * d_A * G, abi aprÄÄ·ina vienu un to paÅ”u rezultÄtu, nekad neizpaužot savas privÄtÄs atslÄgas.
No kopÄjÄ punkta uz simetrisko atslÄgu
IegÅ«tais kopÄjais noslÄpums S ir punkts uz lÄ«knes, nevis simetriska atslÄga, kas piemÄrota Å”ifrÄÅ”anas algoritmiem, piemÄram, AES. Lai atvasinÄtu atslÄgu, standarta prakse ir iegÅ«t punkta S x-koordinÄtu un iziet caur AtslÄgu atvasinÄÅ”anas funkciju (KDF), piemÄram, HKDF (HMAC-balstÄ«ta atslÄgu atvasinÄÅ”anas funkcija). KDF Åem kopÄjo noslÄpumu un pÄc izvÄles sÄli un citu informÄciju, un iegÅ«st kriptogrÄfiski spÄcÄ«gu atslÄgu vÄlamÄ garumÄ.
Visi pamatÄ esoÅ”ie aprÄÄ·ini ā privÄto atslÄgu Ä£enerÄÅ”ana kÄ nejauÅ”i BigInt un skalÄrÄ multiplikÄcija ā lielÄ mÄrÄ paļaujas uz BigInt aritmÄtiku.
ProgresÄ«vÄ operÄcija 2: PubliskÄs atslÄgas atjaunoÅ”ana no parakstiem
DaudzÄs sistÄmÄs, Ä«paÅ”i blokÄ·ÄdÄs, efektivitÄte un datu minimizÄÅ”ana ir vissvarÄ«gÄkÄ. Parasti, lai verificÄtu parakstu, nepiecieÅ”ams ziÅojums, pats paraksts un parakstÄ«tÄja publiskÄ atslÄga. TomÄr veikls ElipsiskÄs lÄ«knes digitÄlÄ paraksta algoritma (ECDSA) Ä«paÅ”ums ļauj tieÅ”i atjaunot publisko atslÄgu no ziÅojuma un paraksta. Tas nozÄ«mÄ, ka publiskÄ atslÄga nav jÄpÄrraida, ietaupot vÄrtÄ«gu vietu.
KÄ tas darbojas (augsta lÄ«meÅa)
ECDSA paraksts sastÄv no divÄm sastÄvdaļÄm (`r`, `s`).
- `r` tiek atvasinÄts no nejauÅ”a punkta `k * G` x-koordinÄtas.
- `s` tiek aprÄÄ·inÄts, pamatojoties uz ziÅojuma kontrolsummu (`z`), privÄto atslÄgu (`d`) un `r`. Formula ir: `s = k_inverse * (z + r * d) mod n`, kur `n` ir lÄ«knes kÄrta.
Veicot algebriskas manipulÄcijas ar paraksta verifikÄcijas vienÄdojumu, ir iespÄjams atvasinÄt publiskÄs atslÄgas `Q` izteiksmi. TomÄr Å”is process rada divus iespÄjamus derÄ«gus publiskÄs atslÄgas. Lai atrisinÄtu Å”o nenoteiktÄ«bu, kopÄ ar parakstu tiek iekļauta neliela papildu informÄcija, ko sauc par atjaunoÅ”anas ID (bieži apzÄ«mÄta kÄ `v` vai `recid`). Å is ID, parasti 0, 1, 2 vai 3, norÄda, kura no iespÄjamÄm risinÄjumiem ir pareizÄ un vai atslÄgas y-koordinÄts ir pÄra vai nepÄra.
KÄpÄc `BigInt` ir bÅ«tiska
PubliskÄs atslÄgas atjaunoÅ”anai nepiecieÅ”amÄs matemÄtiskÄs operÄcijas ir intensÄ«vas un ietver modulÄros apgriezumus, multiplikÄciju un 256 bitu skaitļu saskaitÄ«Å”anu. PiemÄram, galvenais solis ietver `(r_inverse * (s*k - z)) * G` aprÄÄ·inÄÅ”anu. Å Ä«s operÄcijas ir tieÅ”i tas, kam ir paredzÄts BigInt. Bez tÄ, Å”o aprÄÄ·inu veikÅ”ana vietÄjÄ JavaScript bÅ«tu neiespÄjama bez ievÄrojama precizitÄtes un droŔības zuduma.
Praktiskais pielietojums: Ethereum transakcijas
Å Ä« metode ir slavena ar izmantoÅ”anu Ethereum. ParakstÄ«ta transakcija tieÅ”i nesatur sÅ«tÄ«tÄja publisko adresi. TÄ vietÄ adrese (kas tiek atvasinÄta no publiskÄs atslÄgas) tiek atjaunota no paraksta `v`, `r` un `s` komponentiem. Å Ä« dizaina izvÄle ietaupa 20 baitus katrÄ transakcijÄ, kas ir ievÄrojams ietaupÄ«jums globÄla blokÄ·Ädes mÄrogÄ.
ProgresÄ«vÄ operÄcija 3: Å norra paraksti un agregÄcija
Lai gan ECDSA tiek plaÅ”i izmantots, tam ir daži trÅ«kumi, tostarp parakstu mainÄ«gums un agregÄcijas Ä«paŔību trÅ«kums. Å norra paraksti, cita ECC balstÄ«ta shÄma, piedÄvÄ elegantus risinÄjumus Ŕīm problÄmÄm un daudzi kriptogrÄfi tos uzskata par labÄkiem.
GalvenÄs Å norra parakstu priekÅ”rocÄ«bas
- PierÄdÄma droŔība: Tiem ir vienkÄrÅ”Äka un robustÄka droŔības pierÄdÄ«Å”ana, salÄ«dzinot ar ECDSA.
- NemainÄ«gums: TreÅ”ajai personai nav iespÄjams izmainÄ«t derÄ«gu parakstu citÄ derÄ«gÄ parakstÄ tam paÅ”am ziÅojumam un atslÄgai.
- LinearitÄte (Superjauda): Å Ä« ir vissvarÄ«gÄkÄ priekÅ”rocÄ«ba. Å norra paraksti ir lineÄri, kas ļauj veikt jaudÄ«gas agregÄcijas metodes.
Parakstu agregÄcijas skaidrojums
LinearitÄtes Ä«paŔība nozÄ«mÄ, ka vairÄkus parakstus no vairÄkiem parakstÄ«tÄjiem var apvienot vienÄ, kompaktÄ parakstÄ. Tas ir mainÄ«tÄjs daudzparakstu (multisig) shÄmÄm.
Apsveriet scenÄriju, kur transakcijai nepiecieÅ”ami 3 no 5 dalÄ«bnieku parakstiem. Ar ECDSA jums vajadzÄtu iekļaut visus trÄ«s atseviŔķos parakstus blokÄ·ÄdÄ, aizÅemot ievÄrojamu vietu.
Ar Å norra parakstiem process ir daudz efektÄ«vÄks:
- AtslÄgu agregÄcija: 3 dalÄ«bnieki var apvienot savas individuÄlÄs publiskÄs atslÄgas (`Q1`, `Q2`, `Q3`), lai izveidotu vienu kopÄjo publisko atslÄgu (`Q_agg`).
- Parakstu agregÄcija: Izmantojot sadarbÄ«bas protokolu, piemÄram, MuSig2, dalÄ«bnieki var izveidot vienu kopÄju parakstu (`S_agg`), kas ir derÄ«gs kopÄtajai publiskajai atslÄgai `Q_agg`.
RezultÄts ir transakcija, kas ÄrÄji izskatÄs identiski standarta viena parakstÄ«tÄja transakcijai. Tai ir viena publiskÄ atslÄga un viens paraksts. Tas krasi uzlabo efektivitÄti, mÄrogojamÄ«bu un privÄtumu, jo sarežģītas multisig iestatÄ«Å”anas kļūst neatŔķiramas no vienkÄrÅ”Äm.
BigInt loma
AgregÄcijas maÄ£ija sakÅojas vienkÄrÅ”Ä elipsiskÄs lÄ«knes punktu saskaitÄ«Å”anÄ un skalÄrÄ aritmÄtikÄ. KopÄjÄs atslÄgas izveide ietver `Q_agg = Q1 + Q2 + Q3`, un kopÄjÄ paraksta izveide ietver individuÄlo parakstu komponentu saskaitÄ«Å”anu modulÄri pret lÄ«knes kÄrtu. Visas Ŕīs operÄcijas ā kas veido tÄdu protokolu kÄ MuSig2 pamatu ā tiek veiktas ar lieliem veseliem skaitļiem un lÄ«knes koordinÄtÄm, padarot BigInt par neaizstÄjamu rÄ«ku Å norra parakstu un agregÄcijas shÄmu ievieÅ”anai JavaScript.
ImplementÄcijas apsvÄrumi un droŔības paraugprakses
Lai gan BigInt dod mums iespÄju saprast un ieviest Ŕīs progresÄ«vÄs operÄcijas, ražoÅ”anas lÄ«meÅa kriptogrÄfijas izveide ir bÄ«stams uzdevums. Å eit ir daži kritiski apsvÄrumi.
1. NEVEIDOJIET SAVU KRIPTO PRODUKCIJAI
Å is raksts ir paredzÄts izglÄ«toÅ”anai un pamatmehÄnismu ilustrÄÅ”anai. Jums nekad nevajadzÄtu ieviest Ŕīs kriptogrÄfiskÄs primitÄ«vÄs funkcijas no nulles ražoÅ”anas lietojumprogrammai. Izmantojiet labi pÄrbaudÄ«tas, auditÄtas un vienaudžu pÄrskatÄ«tas bibliotÄkas, piemÄram, `noble-curves`. Å Ä«s bibliotÄkas ir izstrÄdÄtas speciÄli ekspertu un Åem vÄrÄ daudzus smalkus, bet kritiskus droŔības jautÄjumus.
2. PastÄvÄ«ga laika operÄcijas un sÄnu kanÄlu uzbrukumi
Viens no visbÄ«stamÄkajiem slazdiem ir sÄnu kanÄlu uzbrukums. UzbrucÄjs var analizÄt sistÄmas nefunkcionÄlÄs sastÄvdaļas ā piemÄram, jaudas patÄriÅu vai precÄ«zu operÄcijas laiku ā lai nopludinÄtu informÄciju par privÄtajÄm atslÄgÄm. PiemÄram, ja multiplikÄcija ar atslÄgas '1' bitu aizÅem nedaudz ilgÄku laiku nekÄ ar '0' bitu, uzbrucÄjs var rekonstruÄt atslÄgu, novÄrojot laika atŔķirÄ«bas.
Standarta BigInt operÄcijas JavaScript nav pastÄvÄ«gÄ laikÄ. To izpildes laiks var bÅ«t atkarÄ«gs no operandu vÄrtÄ«bas. ProfesionÄlÄs kriptogrÄfiskÄs bibliotÄkas izmanto ļoti specializÄtus algoritmus, lai nodroÅ”inÄtu, ka visas operÄcijas ar privÄtajÄm atslÄgÄm aizÅem pastÄvÄ«gu laiku, neatkarÄ«gi no atslÄgas vÄrtÄ«bas, tÄdÄjÄdi mazinot Å”o draudu.
3. DroÅ”a nejauÅ”u numuru Ä£enerÄÅ”ana
Jebkuras kriptogrÄfiskÄs sistÄmas droŔība sÄkas ar tÄs nejauŔības kvalitÄti. PrivÄtajÄm atslÄgÄm ir jÄbÅ«t Ä£enerÄtÄm, izmantojot kriptogrÄfiski droÅ”u pseido-nejauÅ”u numuru Ä£eneratoru (CSPRNG). JavaScript vidÄs vienmÄr izmantojiet iebÅ«vÄtÄs API:
- PÄrlÅ«kprogramma:
crypto.getRandomValues() - Node.js:
crypto.randomBytes()
Nekad neizmantojiet `Math.random()` kriptogrÄfijas nolÅ«kos, jo tas nav paredzÄts neparedzamÄ«bai.
4. DomÄna parametru un publiskÄs atslÄgas validÄcija
SaÅemot publisko atslÄgu no ÄrÄja avota, ir ļoti svarÄ«gi to validÄt. UzbrucÄjs varÄtu nodroÅ”inÄt ļaunprÄtÄ«gu punktu, kas faktiski nav norÄdÄ«tajÄ elipsiskajÄ lÄ«knÄ, kas varÄtu radÄ«t uzbrukumus, kas atklÄj jÅ«su privÄto atslÄgu ECDH atslÄgu apmaiÅas laikÄ (piemÄram, nederÄ«gas lÄ«knes uzbrukumi). ReputÄcijas bibliotÄkas automÄtiski apstrÄdÄ Å”o validÄciju.
SecinÄjums
BigInt ienÄkÅ”ana ir fundamentÄli pÄrveidojusi kriptogrÄfijas ainavu JavaScript ekosistÄmÄ. TÄ ir pÄrvietojusi ECC no necaurspÄ«dÄ«gu, melno kastÄ«Å”u bibliotÄku jomas uz kaut ko tÄdu, ko var ieviest un saprast vietÄji, veicinot jaunu caurspÄ«dÄ«guma un iespÄju lÄ«meni.
MÄs esam izpÄtÄ«juÅ”i, kÄ Å”Ä« viena funkcija nodroÅ”ina progresÄ«vas un jaudÄ«gas kriptogrÄfiskÄs operÄcijas, kas ir mÅ«sdienu droÅ”o sistÄmu pamatÄ:
- ECDH atslÄgu apmaiÅa: Pamats droÅ”u sakaru kanÄlu izveidei.
- PubliskÄs atslÄgas atjaunoÅ”ana: EfektivitÄti uzlabojoÅ”a metode, kas bÅ«tiska mÄrogojamÄm sistÄmÄm, piemÄram, blokÄ·ÄdÄm.
- Å norra paraksti: NÄkamÄs paaudzes parakstu shÄma, kas piedÄvÄ labÄku efektivitÄti, privÄtumu un mÄrogojamÄ«bu, izmantojot agregÄciju.
KÄ izstrÄdÄtÄjiem un arhitektiem Å”o progresÄ«vo koncepciju izpratne vairs nav tikai akadÄmisks vingrinÄjums. TÄs tiek izmantotas globÄlÄs sistÄmÄs jau Å”odien, sÄkot no Bitcoin Taproot jauninÄÅ”anas lÄ«dz droÅ”iem ziÅojumapmaiÅas protokoliem, kas aizsargÄ mÅ«su ikdienas sarunas. Lai gan gala implementÄcija vienmÄr jÄuztic auditÄtÄm, ekspertu pÄrbaudÄ«tÄm bibliotÄkÄm, dziļa mehÄnismu izpratne, ko nodroÅ”ina tÄdi rÄ«ki kÄ BigInt, ļauj mums veidot droÅ”Äkas, efektÄ«vÄkas un inovatÄ«vÄkas lietojumprogrammas globÄlai auditorijai.